Resolución de problemas y
contextos matemáticos
La actividad de resolución de
problemas, es EJE FUNDAMENTAL DE LA ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE de
las matemáticas. Es poco vivenciado por
alumnos y profesores, que un problema se
pueden resolver en distintos
contextos matemáticos.
Imaginemos que un problema es un
lugar en donde tenemos que llegar, por tanto existen varios caminos para llegar
a él, largos, cortos, difícil de
transitar, fácil de transitar, etc. Cada individuo podrá resolver el problema conforme a sus conocimientos y el ambiente
matemático que mejor domine eso
hará más fácil o difícil llegar a la solución.
Para empezar a resolver un
problema:
•
Familiarización
•
Ambiente Matemático (Numérico, Algebraico o
Geométrico)
Recursos Atingentes al
conocimiento y manejo de proposiciones y procedimientos.
Analizaremos un problema el cual exhibiremos las diferentes formas de
solucionarlo llegando al mismo resultado
Problema:
Determinar un número real positivo
x de modo que la expresión
A= x²(16-x²) alcance su mayor valor, y determina este valor.
Solución 1:
- Ambiente Matemático: Numérico.
- Contenidos Matemáticos: Evaluación de expresiones
algebraicas.
- Pre-requisitos específicos de contenidos:
- Números racionales
- Construcción de tabla de valores
- Orden de los números racionales
4 . Bosquejo
de solución: Construiremos una tabla de valores de x²(16-x²) con valores de 0 y 6.
|
x
|
x²(16-x²)
|
|
0
|
0
|
|
1
|
15
|
|
2
|
48
|
|
3
|
63
|
|
4
|
0
|
|
5
|
-225
|
Observamos que el valor que
buscamos de x esta entre 2 y 3 entonces haremos una tabla
nueva con incrementos de 0.1
|
x
|
x²(16-x²)
|
|
2
|
48
|
|
2.1
|
51.1
|
|
2.2
|
54.01
|
|
2.3
|
56.65
|
|
2.4
|
58.98
|
|
2.5
|
60.94
|
|
2.6
|
62.46
|
|
2.7
|
63.49
|
|
2.8
|
63.97
|
|
2.9
|
63.83
|
|
3
|
63
|
De
esta tabla los valores, se concluye que, aproximadamente, el máximo se alcanza
cuando x~2.8
y que el valor de este máximo es 63.97 aproximadamente. Esta forma de solucionar este problema es
largo y en otras expresiones se tendría que hacer más tablas hasta llegar al
resultado y que bien que exista otra forma de obtener el resultado
Solución 2:
- AM: Grafico
- CM: Funciones
- PREC:
- Nociones básicas de funciones
- Grafica de funciones. Interpretación de graficas
4.
Bosquejo de solución: A través de un programa o
calculadora científica en donde te permita graficar la expresión dado y en la
gráfica encontraras el valor máximo que alcanza x y su valor. Aquí la
limitación de esta forma de solución es que si uno no cuenta con el programa o
una calculadora de este tipo, no llegaríamos a la solución, y que bien que
existan otra forma de resolver este problema.
Solución 3:
- AM: Algebraico
- CM: Manipulación de expresiones algebraicas
- PREC:
•
Completar
cuadrados
•
Propiedad para cada real, se cumpla a²≥0.
4.
Bosquejo de la solución: Completando un cuadrado
en la expresión y analizando algebraicamente, se concluye que esta alcanza su
mayor en x²=8,
es decir x=raíz de 8 y que este valor es
igual a 64.
Solución 4
- AM: Geométrico-Algebraico
- CM: Funciones cuadrática
- PREC:
•
Grafica de la función cuadrática (parábola)
•
Coordenadas del vertical de una parábola.
•
Cambio de variable
4.
Bosquejo de solución: Hacemos un cambio de
variable u= x² lo cual la expresión resulta
ser una ecuación cuadrática y se hace el mismo proceder del problema anterior.
Solución 5:
- AM: Algebraico
- CM: Funciones
- PREC:
•
Calculo de pre-imágenes
•
Recorrido de una función
•
Ecuaciones cuadráticas.
4.
Bosquejo de solución: Se despeja la variable x.
En donde buscaremos el recorrido de la pre-imagen (dominio), luego el mayor
valor que toma la expresión propuesta es 64. Buscando la pre-imagen positiva de
este valor, se obtiene que el máximo de la expresión dada es alcanzado en x igual
a raíz de 8.
Solución 6
1. Ambiente
Matemático: Algebraico.
2. Contenidos Matemáticos:
Desigualdades.
3. Pre-requisitos
específicos de contenidos:
·
Resolución de ecuaciones cuadráticas.
·
Propiedades de la relación ˂=.
·
Conocer el siguiente resultado: Si a y b son números
reales positivos, entonces la media geométrica entre a y b es menor o igual a
su media aritmética, con igualdad solamente cuando a=b, es decir
˂=
.
4. Bosquejo de
solución: Esta se realiza como parte de la exposición en el pizarrón.
Solución 7.
1. Ambiente
Matemático: Geométrico.
2. Contenidos
Matemáticos: Triángulos semejantes.
3. Pre-requisitos
específicos de contenidos:
·
Triángulos rectángulos.
·
Proyección de un segmento sobre otro.
·
Segmentos proporcionales.
·
Teorema de Euclides; En todo triángulo
rectángulo, la altura correspondiente al ángulo recto es media proporcional
entre las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
4. Bosquejo de
solución: Esta se realiza como parte de la exposición en el pizarrón.
Solución 8.
1. Ambiente Matemático:
Algebraico.
2. Contenidos Matemáticos:
Polinomios.
3. Pre-requisitos
específicos de contenidos:
·
Polinomios: Raíces e igualdad de polinomios.
·
Sistema de ecuaciones.
·
Conocer el principio de Huygens: Si p(x) es un
polinomio y el valor de p(a) es un máximo, entonces cuando z < p(a), con z
"cerca" de p(a), la ecuación p(x)=z tendrá dos soluciones distintas,
que serán la misma (solución doble) cuando z=p(a).
4. Bosquejo de
solución: Se realizara como parte de la exposición en el pizarrón.
Solución 9.
1. Ambiente
Matemático: Algebraico.
2. Contenidos
Matemáticos: Polinomios.
3. Pre-requisitos
específicos de contenidos:
·
Desigualdades: conocer la propiedad: si a < b
+ h , para todo h positivo, entonces a<=b.
·
Sistemas de ecuaciones.
·
Conocer el principio: Si p(x) es un polinomio y
el valor de p(c) es un máximo, entonces para todo h (positivo y pequeño) se
cumple que p(c + h)
4. Bosquejo de
solución: Se realizará en el pizarrón.
Solución 10.
1. Ambiente
Matemático: Algebraico.
2. Contenidos
Matemáticos: Aplicaciones de la derivada.
3. Pre-requisitos
específicos de contenidos:
·
Método para calcular extremos de una función,
usando derivadas.
·
Resolución de ecuaciones.
·
Evaluación de expresiones algebraicas.
4. Bosquejo de solución:
Se realizara en el pizarrón como ejercicio.
Solución 11.
1. Ambiente
Matemático: Algebraico.
2. Contenidos
Matemáticos: Aplicaciones de las derivadas parciales.
3. Pre-requisitos
específicos de contenidos:
·
Método de los multiplicadores de Lagrange.
·
Resolución de sistemas de ecuaciones.
4. Bosquejo de
solución: Se realizara como ejercicio en la exposición.
Comentarios finales.
En este trabajo se ha presentado
un problema elemental de optimización y expuesto diversas resoluciones, que varían
de acuerdo al ambiente matemático y las correspondientes técnicas propias de
éstos. La idea, como es de suponer, es trabajar este problema con nuestros
estudiantes y a medida que avancen en sus cursos de matemática, ir retomando
este problema y resolverlo con nuestras técnicas. Al mismo tiempo que el
estudiante va experimentando con nuevas técnicas para abordar la resolución del
problema comentado, va incrementando sus recursos para enfrentar nuevos
problemas. De esta manera el alumno, por una parte, aumenta su capacidad para
resolver problemas, y por otra, incrementa su confianza en este importante
ámbito de la matemática.
Desde el punto de vista de la
enseñanza y enseñanza matemática, es altamente interesante reflexionar sobre
diversas técnicas y diferentes ambientes donde resolver un problema
determinado, ya que ello nos obliga a profundizar en aspectos que generalmente
se descuidan, como son: ambiente donde vive el problema, ambiente donde viven
los recursos matemáticos utilizados, etc. y al mismo tiempo a disfrutar de la
riqueza, variedad y poder de la matemática en el desafío de resolver problemas.
