Resolución de Problemas y contextos Matematicos

Resolución de problemas y contextos matemáticos

La actividad de resolución de problemas, es  EJE  FUNDAMENTAL DE LA ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE de las matemáticas. Es poco  vivenciado por alumnos y profesores, que un problema se  pueden resolver  en distintos contextos matemáticos.

Imaginemos que un problema es un lugar en donde tenemos que llegar, por tanto existen varios caminos para llegar a  él, largos, cortos, difícil de transitar, fácil de transitar, etc. Cada individuo podrá resolver el problema  conforme a sus conocimientos y el ambiente matemático  que mejor  domine eso  hará más fácil o difícil llegar a la solución.

Para empezar a resolver un problema:

•       Familiarización

•       Ambiente Matemático (Numérico, Algebraico o Geométrico)

Recursos Atingentes al conocimiento y manejo de proposiciones y procedimientos.

Analizaremos un problema  el cual exhibiremos las diferentes formas de solucionarlo  llegando al mismo resultado

Problema:

Determinar un número real positivo  x   de modo que la expresión 

A= x²(16-x²) alcance su mayor valor, y determina este valor.

Solución 1:

1. Ambiente Matemático: Numérico.
2. Contenidos Matemáticos: Evaluación de expresiones algebraicas.
3. Pre-requisitos específicos de contenidos:

1. Números racionales
2. Construcción de tabla de valores
3. Orden de los números racionales  

4      .       Bosquejo de solución: Construiremos una tabla de valores de  x²(16-x²)  con valores de 0 y 6.

x	x²(16-x²)
0	0
1	15
2	48
3	63
4	0
5	-225

      Observamos que el valor que buscamos de  x  esta entre 2 y 3 entonces haremos una tabla nueva con incrementos de 0.1

  

x	x²(16-x²)
2	48
2.1	51.1
2.2	54.01
2.3	56.65
2.4	58.98
2.5	60.94
2.6	62.46
2.7	63.49
2.8	63.97
2.9	63.83
3	63

                                                        De esta tabla los valores, se concluye que, aproximadamente, el máximo se alcanza cuando x~2.8 y que el valor de este máximo es 63.97 aproximadamente.  Esta forma de solucionar este problema es largo y en otras expresiones se tendría que hacer más tablas hasta llegar al resultado y que bien que exista otra forma de obtener el resultado

  Solución 2:

1. AM: Grafico
2. CM: Funciones
3. PREC:

• Nociones básicas de funciones
• Grafica de funciones. Interpretación de graficas

4.       Bosquejo de solución: A través de un programa o calculadora científica en donde te permita graficar la expresión dado y en la gráfica encontraras el valor máximo que alcanza x y su valor. Aquí la limitación de esta forma de solución es que si uno no cuenta con el programa o una calculadora de este tipo, no llegaríamos a la solución, y que bien que existan otra forma de resolver este problema.

  Solución 3:

1. AM: Algebraico
2. CM: Manipulación de expresiones algebraicas
3. PREC:

•       Completar  cuadrados

•       Propiedad para cada real, se cumpla a²≥0.

4.       Bosquejo de la solución: Completando un cuadrado en la expresión y analizando algebraicamente, se concluye que esta alcanza su mayor en x²=8, es decir  x=raíz de 8 y que este valor es igual a 64.

      Solución 4

1. AM: Geométrico-Algebraico
2. CM: Funciones cuadrática
3. PREC:

•       Grafica de la función cuadrática (parábola)

•       Coordenadas del vertical de una parábola.

•       Cambio de variable

4.       Bosquejo de solución: Hacemos un cambio de variable  u= x² lo cual la expresión resulta ser una ecuación cuadrática y se hace el mismo proceder del problema anterior.

  Solución 5:

1. AM: Algebraico
2. CM: Funciones
3. PREC:

•       Calculo de pre-imágenes

•       Recorrido de una función

•       Ecuaciones cuadráticas.

4.       Bosquejo de solución: Se despeja la variable x. En donde buscaremos el recorrido de la pre-imagen (dominio), luego el mayor valor que toma la expresión propuesta es 64. Buscando la pre-imagen positiva de este valor, se obtiene que el máximo de la expresión dada es alcanzado en x igual a raíz de 8.

     

 Solución 6

1.  Ambiente Matemático: Algebraico.

2.  Contenidos Matemáticos: Desigualdades.

3.  Pre-requisitos específicos de contenidos:

·         Resolución de ecuaciones cuadráticas.

·         Propiedades de la relación ˂=.

·         Conocer el siguiente resultado: Si a y b son números reales positivos, entonces la media geométrica entre a y b es menor o igual a su media aritmética, con igualdad solamente cuando a=b, es decir ˂=.

4.  Bosquejo de solución: Esta se realiza como parte de la exposición en el pizarrón.

   Solución 7.

1.  Ambiente Matemático: Geométrico.

2.  Contenidos Matemáticos:  Triángulos semejantes.

3.  Pre-requisitos específicos de contenidos:

·         Triángulos rectángulos.

·         Proyección de un segmento sobre otro.

·         Segmentos proporcionales.

·         Teorema de Euclides; En todo triángulo rectángulo, la altura correspondiente al ángulo recto es media proporcional entre las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

4.  Bosquejo de solución: Esta se realiza como parte de la exposición en el pizarrón.

  Solución 8.

1.  Ambiente Matemático: Algebraico.

2.  Contenidos Matemáticos: Polinomios.

3.  Pre-requisitos específicos de contenidos:

·         Polinomios: Raíces e igualdad de polinomios.

·         Sistema de ecuaciones.

·         Conocer el principio de Huygens: Si p(x) es un polinomio y el valor de p(a) es un máximo, entonces cuando z < p(a), con z "cerca" de p(a), la ecuación p(x)=z tendrá dos soluciones distintas, que serán la misma (solución doble) cuando z=p(a).

4.  Bosquejo de solución: Se realizara como parte de la exposición en el pizarrón.

Solución 9.

1.  Ambiente Matemático: Algebraico.

2.  Contenidos Matemáticos: Polinomios.

3.  Pre-requisitos específicos de contenidos:

·         Desigualdades: conocer la propiedad: si a < b + h , para todo h positivo, entonces a<=b.

·         Sistemas de ecuaciones.

·         Conocer el principio: Si p(x) es un polinomio y el valor de p(c) es un máximo, entonces para todo h (positivo y pequeño) se cumple que p(c + h)

4.  Bosquejo de solución: Se realizará en el pizarrón.

Solución 10.

1.  Ambiente Matemático: Algebraico.

2.  Contenidos Matemáticos: Aplicaciones de la derivada.

3.  Pre-requisitos específicos de contenidos:

·         Método para calcular extremos de una función, usando derivadas.

·         Resolución de ecuaciones.

·         Evaluación de expresiones algebraicas.

4.  Bosquejo de solución: Se realizara en el pizarrón como ejercicio.

Solución 11.

1.  Ambiente Matemático: Algebraico.

2.  Contenidos Matemáticos: Aplicaciones de las derivadas parciales.

3.  Pre-requisitos específicos de contenidos:

·         Método de los multiplicadores de Lagrange.

·         Resolución de sistemas de ecuaciones.

4.  Bosquejo de solución: Se realizara como ejercicio en la exposición.

Comentarios finales.

En este trabajo se ha presentado un problema elemental de optimización y expuesto diversas resoluciones, que varían de acuerdo al ambiente matemático y las correspondientes técnicas propias de éstos. La idea, como es de suponer, es trabajar este problema con nuestros estudiantes y a medida que avancen en sus cursos de matemática, ir retomando este problema y resolverlo con nuestras técnicas. Al mismo tiempo que el estudiante va experimentando con nuevas técnicas para abordar la resolución del problema comentado, va incrementando sus recursos para enfrentar nuevos problemas. De esta manera el alumno, por una parte, aumenta su capacidad para resolver problemas, y por otra, incrementa su confianza en este importante ámbito de la matemática.

Desde el punto de vista de la enseñanza y enseñanza matemática, es altamente interesante reflexionar sobre diversas técnicas y diferentes ambientes donde resolver un problema determinado, ya que ello nos obliga a profundizar en aspectos que generalmente se descuidan, como son: ambiente donde vive el problema, ambiente donde viven los recursos matemáticos utilizados, etc. y al mismo tiempo a disfrutar de la riqueza, variedad y poder de la matemática en el desafío de resolver problemas.